Echantillonage Lorsqu'on désire numériser un signal analogique, c'est-à-dire le coder à l'aide d'une suite finie de nombres, on commence généralement par l'échantillonner. Cette opération consiste à prendre la valeur instantanée du signal à des instants séparés par un temps constant Te. Une fois l'opération effectuée, on ne peut plus connaître la valeur du signal à tout instant, mais seulement toutes les Te secondes. Dans la mesure où l'on prend un nombre d'échantillons "suffisant", l'ensemble des valeurs instantanées, discrètes dans le temps, suffit à représenter entièrement le signal original. Des deux illustrations précédentes, on peut tirer quelques constatations : • Si l'on relie les échantillons par une courbe imaginaire, on retrouve assez aisément l'allure du signal original. Intuitivement, on constate que la courbe échantillonée représente une bonne approximation du signal original. • Si, par un effort d'imagination, on se met à ôter des échantillons, il va forcément arriver un moment où il ne sera plus évident de parvenir à reconstituer le signal original. Il doit donc y avoir un nombre minimum d'échantillons nécessaire. C'est ce nombre que détermine le théorème de l'échantillonage Nous allons essentiellement nous préoccuper du cas sinusoïdal dans les prochaines pages, puisque le signal sinusoïdal est le plus simple. Spectre dans le cas sinusoïdal Le spectre d'un signal échantilloné se compose d'une série de raies réparties de part et d'autre des multiples de la fréquence d'échantillonage. Les raies intéressantes pour la démodulation sont celles qui se situent aux alentours de 0, puisque ce sont celles qui correspondent au signal original. Il est donc, semble-t-il, très facile de reconstituer le signal original à partir d'un signal échantilloné : il suffit de filtrer à l'aide d'un simple passe-bas ! Nous pouvons déterminer ce filtre par un raisonnement très simple : nous ne désirons pas que les raies de fréquence supérieure soient présentes dans le signal reconstitué. Il faut donc éliminer essentiellement la raie située à fe - fm. Nous voulons également être en mesure de retransmettre la plus grande largeur de bande possible. Si nous utilisons un filtre idéal, caractérisé par une fréquence de coupure fc, nous devrons donc couper à une fréquence telle que fc = fe - fm. Ce résultat empirique aboutit au théorème de l'échantillonage, et par corollaire, on en conclut que notre filtre doit couper au pire à fe /2. Théorème de l'échantillonage Afin de garantir la restitution fidèle du signal, le théorème de l'échantillonnage stipule que la fréquence d'échantillonnage doit être supérieure au double de la fréquence maximale à reproduire. Sinon, on observe un phénomène dit de repliement, qui veut que les fréquences les plus élevées, en plus d'être reproduites à leurs justes valeurs, se voient inversées et décalées pour se superposer aux fréquences plus basses du signal. A la limite du théorème de l'échantillonage Si le théorème de l'échantillonnage n'est pas respecté, on parle de violation de ce théorème. L'illustration montre un exemple d'échantillonnage "à la limite". On peut, intuitivement, remarquer sur l'illustration précédente, que relier les échatillons à l'aide d'une ligne courbe, aussi bien choisie soit-elle, n'a que peu de chances de reproduire le signal original, bien que le théorème de l'échantillonage soit, formellement, respecté. Tout au plus peut-on retrouver un signal ressemblant, qui pourrait par une homothétie appropriée, reproduire le signal original. Intuitivement, on peut donc constater qu'il semble plus difficile de reproduire le signal original à partir des échantillons. De plus, on constate également que même après rétablissement, le signal que l'on recouvre est plus faible que l'original. Il y a donc affaiblissement. On se rend bien compte qu'en échantillonant à exactement 2 fois la fréquence du signal modulant (message), on peut aussi bien tomber systématiquement sur les maxima du sinus à transmettre, que sur les passages par zéro. Dans le premier cas, on peut aisément imaginer une restitution du signal original, alors que dans le second cas, cela paraît pour le moins difficile ! Sous-échantillonage Cette illustration, par contre, montre un exemple de violation du théorème de l'échantillonnage. On parlera alors de sous-échantillonage. Dans l'illustration de la page précédente, on voit que, si l'on tente de relier les échantillons par une courbe, on ne va pas être en mesure de reconstituer le signal original, mais un autre, peu semblable au précédent. Ceci est la conséquence de la violation du théorème de l'échantillonage. Il faut donc impérativement limiter la fréquence maximale du signal à échantilloner à la moitié de la fréquence d'échantillonage. Afin de garantir la restitution fidèle du signal, le théorème de l'echantillonage stipule que la fréquence d'échantillonage doit être supérieure au double de la fréquence maximale à reproduire. Sinon, on observe un phénomène dit de repliement, qui veut que les fréquence les plus élevées, en plus d'être reproduites à leurs justes valeurs, se voient inversées et décalées pour se superposer aux fréquences plus basses du signal. Malheureusement, la parole possède un spectre relativement large, avec une variance très grande. Un enfant génère des fréquences comprises entre 300 Hz et 12000 Hz, alors qu'un adulte peut générer des fréquences entre 100 et 8000 Hz. Il n'est donc pas évident de fixer une fréquence d'échantillonage qui serait valable pour tous, et qui de plus serait raisonnablement faible : finalement, le but est de transmettre le moins d'information possible pour une restitution la plus fidèle possible ! Pour une fréquence d'échantillonage élevée relativement au double de la fréquence maximale du signal (ici, un sinus), les raies spectrales sont éloignées les unes des autres, et il est facile, par simple filtrage, d'isoler la raie intéressante, soit celle qui se trouive en bande de base. Pour une fréquence proche de la fréquence lomite donnée par le théorème d'échantillonage, les raies spectrales supérieures se rapprochent de la raie en bande de base, et l'isolation par filtrage de celle-ci devient plus problématique. A la limite du théoreme de l'échantillonage, les deux raies spectrales se recrouvent, et il devient impossible de les séparer l'une de l'autre. Si l'on dépasse la limite définie par le théorème de l'échantillonage, la raie supérieure va croiser la raie de la bande de la base. Ce que l'on pourra démoduler par filtrage ne sera plus la bande de base, mai la fréquence obtenue par repliement de la bande supérieure: un signal bizzarre, où toutes les fréquences sont inversées ! Effet de repliement Les exemples suivants vont illustrer l'effet de repliement pour un signal musical et un signal de parole. Pour mettre en évidence cet effet, on a sous-échantillonné le signal de parole à 8, 4 et 2 kHz, sans filtrage préalable. De ce fait, toutes les fréquences supérieures à la moitié de la fréquence d'échantillonnage se trouvent "repliées" sur la bande de base. Musique, référence Parole, référence Musique, échantillonage à 8 kHz Parole, échantillonage à 8 kHz Musique, échantillonage à 4 kHz Parole, échantillonage à 4 kHz Musique, échantillonage à 2 kHz Parole, échantillonage à 2 kHz Limitation de la bande passante Pour éviter le phénomène du repliement, il est nécessaire de limiter la bande passante du signal à traiter à la moitié de la fréquence d'échantillonage, et ainsi de respecter le théorème de l'échantillonage. Cette limitation s'effectue à l'aide d'un filtrage passe-bas, inséré entre la source du signal et l'opération d'échantillonage proprement dite. Le filtrage évite le phénomène de repliement, mais supprime une certaine quantité d'information contenue dans les hautes fréquences, ce qui peut, dans certains cas, nuire à l'intelligibilité. Musique, référence Parole, référence Musique, limitation à 4 kHz Parole, limitation à 4 kHz Musique, limitation à 2 kHz Parole, limitation à 2 kHz Sonogramme du signal de parole original Sonogramme du signal de parole filtré à 3400 Hz. Remarquer la fin du signal, correspondant à la lettre "S" de YES. Récapitulons! L'échantillonage permet de ne transmettre qu'un nombre restreint de valeurs d'un signal continu, valeurs appelées échantillons. Cette opération permet de retrouver le signal original en effectuant un simple filtrage passe-bas. Néanmoins, il y a une condition impérative à respecter: La fréquence d'échantillonage doit être au moins égale au double de la fréquence maximale du signal à transmettre. Le respect de cette condition implique l'utilisation d'un filtre idéal, irréalisable en pratique. Donc, il est nécessaire d'utiliser une fréquence d'échantillonage nettement supérieure au double de la fréquence maximale du signal à transmettre. Quelques valeurs En téléphonie, on utilise une largeur de bande de 300 à 3400 Hz. Dans le cadre du réseau numérique à intégration de services (RNIS, ISDN pour les anglo-saxons), on utilise une fréquence d'échantillonage de 8000 Hz (au lieu des 6800 théoriquement nécessaires). La musique se satisfait de 16, voire 20 kHz de largeur de bande. Un disque CD (Compact Disc) utilise une fréquence d'échantillonage de 44 kHz. Dans les deux cas, il est essentiel que l'on ait au préalable limité la largeur de bande du signal original : des fréquences inaudibles dans le signal original devienent audibles par le phénomène de repliement ! Questions 1. Proposer, sous forme de schéma-bloc, un système permettant d'échantilloner un signal de musique en respectant un niveau de qualité acceptable pour de la radiophonie classique (environ 12 kHz de bande passante). On mentionnera sur le schéma-bloc tous les paramètres indispensables au dimensionnement du système. 2. On a dit au début de ce chapitre : "Lorsqu'on désire numériser un signal analogique, c'est-à-dire le coder à l'aide d'une suite finie de nombres, on commence généralement par l'échantillonner". Cette affirmation est à priori gratuite. Peut-on lui trouver une justification raisonnable ? Intuitivement, pourquoi échantilloner un signal avant de le coder sous forme numérique, et qu'arrive-t-il si on ne le fait pas ? 3. On a vu, dans les sonogrammes, que la limitation de la bande passante entraînait une modification non négligeable de certains sons, correspondant à certaines lettres de l'alphabet, comme le "S" (mais aussi le "F"). Quelles conclusions peut-on tirer de cette constation ? Cela peut-il avoir des conséquences sur l'intelligibilité dans le cas de la téléphonie classique?
smouni abdellah
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